【問題】
下の図において、①は関数\(y=x^2 \)、②は関数\(y=-\frac{1}{2}x^2\) のグラフである。点Aは①のグラフ上を動き、異なる2点B、Cは②のグラフ上を動く。2点A、Cは\(x \)座標が等しく、2点B、Cは\(y \)座標が等しい。また、線分AB、ACと\(x \)軸との交点をそれぞれD、Eとする。ただし、点Aの\(x \)座標は正とする。
（1）点Aの\(x \)座標が4のとき、点Cの座標を求めなさい。
（2）△ADEと△ABCの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
（3）点Aの\(x\) 座標を2とする。3点A、B、Cを通る円と\(x \)軸との交点のうち、\(x \)座標が正の点をPとするとき、点Pの\(x \)座標を求めなさい。
答え
（1）\((4,-8)\)
（2）\(4:9\)
（3）\(2\sqrt{3}\)
（1）
点Cの\(x \)座標は4だから、
②の関数である\(y=-\frac{1}{2}x^2\) に代入すると\(y \)座標が求まります。
$$\begin{eqnarray}y&=&-\frac{1}{2}\times 4^2\\[5pt]&=&-8\end{eqnarray}$$
（2）
△ADEと△ABCは相似な関係になっています。
なので、相似比を二乗することで面積比が求まります。
- 座標を文字で置く
- 長さを表す
- 相似比を求める
- 面積比を求める
この手順で進めていきましょう。
まず、点Aの\(x \)座標を\(a \)とすると、
点A\((a,a^2)\)、点E\((a,0)\)、点C\(\left(a,-\frac{1}{2}a^2\right)\)
と表すことができます。
そこから辺の長さを求めて、相似比を考えると
△ADEと△ABCの相似比は、\(2:3\) であることが分かりました。
よって、△ADEと△ABCの面積比は、
相似比を2乗したものになるので、\(4:9\)となります。
（3）
∠ACB＝90°であることから、
円周角の定理より、∠APBも同じく90°になることが分かります。
よって、△ABPが直角三角形であることから
三平方の定理を用いて、点Pの座標を求めていきます。
点Pの\(x \)座標を\(a \)とすると、
\(AB^2\)、\(AP^2\)、\(BP^2\)は次のように表せます。
これらを三平方の定理、\(AB^2=AP^2+BP^2\)に当てはめると
$$\begin{eqnarray}52&=&(a-2)^2+16+(a+2)^2+4\\[5pt]52&=&a^2-4a+4+16+a^2+4a+4+4\\[5pt]0&=&2a^2-24\\[5pt]2a^2&=&24\\[5pt]a^2&=&12\\[5pt]a&=&\pm2\sqrt{3}\end{eqnarray}$$
問題文より、点Pの\(x\)座標は正であるといっているので、\(2\sqrt{3}\) となります。