【広島16】関数の入試問題（★☆☆）

【問題】

下の図のように、関数 $y=-\frac{1}{3}x+4$ のグラフ上に点 $(3,3)$ があり、このグラフと $y$ 軸との交点をBとします。また、関数 $y=-\frac{1}{3}x$ のグラフ上を $x<0$ の範囲で動く点C、 $y$ 軸上に点D $(0,3)$ があります。

（1）四角形ABCOが平行四辺形となるとき、点Cの座標を求めなさい。

（2）点Dを通り、△ABOの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

解答

答え

（1） $(-3,1)$

（2） $y=-\frac{1}{2}x+3$

解説

（1）

平行四辺形の対辺は、平行で辺の長さが等しくなります。

なので、このように座標の変化も等しくなります。

（2）

まず、△ABOの面積を求めると6になることが分かります。

つまり、△ABOを二等分すると面積が3の図形に分けられることになります。

点Dを通る△ABOを二等分する線を赤線として

イメージ図を書くとこんな感じになります。

つまり、この赤い部分の面積が3になっていればOKということですね。

この赤線と直線OA（ $y=x$ ）の交点をPとして、

その $x$ 座標を $a$ とすると、P $(a,a)$ と表せます。

△ODPの面積が3になることから、 $a=2$ になると分かります。

つまり、△ABOを二等分する直線は、

2点D $(0,3)$ 、P $(2,2)$ を通るということなので、

$y=ax+b$ に当てはめて計算をしていくと、 $y=-\frac{1}{2}x+3$ となります。