【問題】
下の図のように、関数\(y=\frac{1}{8}x^2\) のグラフ上に2点A、Bがあり、2点A、Bの\(x\) 座標はそれぞれ\(-8\)、\(4\)である。2点A、Bを通る直線と\(y\) 軸との交点をC、\(x\)軸との交点をDとする。また、\(x\)軸上に\(∠ACE=90°\) となるように点Eをとる。
（1）2点A、Bを通る直線の式を求めよ。
（2）点Dの座標を求めよ。また、線分DEの長さを求めよ。
答え
（1）\(y=-\frac{1}{2}x+4\)
（2）\(D(8,0)\)、\(DE=10\)
（1）
まずは2点A、Bの座標を求めましょう。
点Aの\(x\) 座標は\(-8\)なので、
$$y=\frac{1}{8}\times (-8)^2=8$$
よって、点A\((-8,8)\)
点Bの\(x\) 座標は\(4\)なので、
$$y=\frac{1}{8}\times 4^2=2$$
よって、点B\((4,2)\)
2点\((-8,8)\)、\((4,2)\)を\(y=ax+b\) に当てはめて計算していきましょう。
（2）
点Dは、\(y=-\frac{1}{2}x+4\) に\(y=0\) を代入すると\(x \)座標を求めることができます。
$$\begin{eqnarray}0&=&-\frac{1}{2}x+4\\[5pt]\frac{1}{2}x&=&4\\[5pt]x&=&8\end{eqnarray}$$
よって、点Dの座標は\((8,0)\) となります。
次に線分DEの長さを求めるため
点Eの座標を求めていきます。
直線CEは、直線ABと垂直な関係です。
なので、互いの傾きを掛けると\(-1\)になります。
垂直な直線は、互いの傾きを掛けると\(-1\)になる。
というわけで、直線ECの傾きを\(a \)とすると、
$$\begin{eqnarray}a\times \left(-\frac{1}{2}\right)&=&-1\\[5pt]a&=&2\end{eqnarray}$$
\(a=2\) となります。
よって、直線ECの式は \(y=2x+4\)。
さらに、\(x\) 軸との交点である点Dの座標は、
$$\begin{eqnarray}0&=&2x+4\\[5pt]-2x&=&4\\[5pt]x&=&-2\end{eqnarray}$$
点D\((-2,0)\) と求まりました。
よって、線分DEの長さは
$$8-(-2)=10$$
となりました。
