【大分16】関数の入試問題（★☆☆）

【問題】

下の図のように、関数 $y=ax^2 (a>0)$ のグラフ上に2点A、Bがあり、点Aの座標は $(-3,3)$ 、点Bの $x$ 座標は $-6$ である。また、 $y$ 軸上に点Cがあり、点Cの $y$ 座標は正である。

（1） $a$ の値を求めなさい。

（2）線分ACと線分BCの長さの和 $AC+BC$ がもっとも小さくなるときの、点Cの $y$ 座標を求めなさい。

解答

答え

（1） $a=\frac{1}{3}$

（2） $6$

解説

（1）

点A $(-3,3)$ を通ることから、

$y=ax^2$ に $x=-3$ 、 $y=3$ を代入しましょう。

$\begin{eqnarray}3&=&a\times 3^2\\[5pt]3&=&9a\\[5pt]a&=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}$

（2）

最短の長さを考えるには、

次のような場所を求めればよいです。

考え方については、こちらをご参考ください。

つまり、点Aを $y$ 軸を対称の軸として折り返した点Dと、点Bを直線で結んだときの $y$ 軸との交点。

これが求めたい点Cの位置となります。

よって、点Cの $y$ 座標は6となります。