答え
(1)C(-4,16)
(2)\frac{8}{3}
解説
(1)
点Aの座標 ⇒ 点Bの座標 ⇒ 点Cの座標
このようにたどっていきましょう。
点Aのx座標が4だから、
真上にある点Bのx座標も4になる。
すると、点Bはy=x^2上の点だから、
x=4を代入すると、y=4^2=16となります。
点Cは、点Bをy軸に対して折り返したところにある点なので、
x座標の符号をチェンジして、
点B(4,16) ⇒ 点C(-4,16)
とすることができます。
(2)
正方形ということは、すべての辺が等しくなるはずです。
というわけで、辺AB、辺ADを文字で表し、
それらの長さが等しくなるということで
方程式を作っていきましょう。
点Aのx座標をaとすると、次のように表すことができます。
座標が求まれば、上のようにそれぞれの長さも求めれますね。
縦の長さを求める場合は、y座標を引く。
横の長さを求める場合は、x座標を引けばよいです。
では、辺AB、辺ADの長さが等しくなれば正方形になるので…
\begin{eqnarray}\frac{3}{4}a^2&=&2a\\[5pt]3a^2&=&8a\\[5pt]3a^2-8a&=&0\\[5pt]a(3a-8)&=&0\\[5pt]a&=&0,\frac{8}{3}\end{eqnarray}
a=0のときは、点Aが原点になってしまって正方形が作れなくなるので問題に合いません。
よって、答えはa=\frac{8}{3}