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規則性の教材~見本~

規則性の問題をやる上で覚えておきたい公式があります。

今回の記事を通して、公式の意味、使い方を理解しておきましょう。

等差数列とは

等差数列(とうさすうれつ)

同じ数だけ増えたり、減ったりする数の並びを等差数列といいます。

等差数列は、高校生になってから本格的に学習する内容です。

ですが、高校入試の規則性の問題では、

上で紹介したような等差数列になっている数の並びがよく出てきます。

 

なので、これから紹介する等差数列の公式について

しっかりと理解しておく、規則性の問題が簡単に解けるようになってきます。

等差数列の\(n\)番目を求める公式

等差数列の\(n\)番目

等差になっている数の並びは、

\(n\)番目が次のように表せます。

$$(最初の数)+(増減する数)\times (n-1)$$

【例】

\(1,3,5\cdots\) と増えていく数列の10番目の数は?

⇒ 最初の数:1 増加する数:2 個数:10

$$1+2\times (10-1)=19$$

\(3,10,17\cdots\) と増えていく数列の\(n\)番目の数は?

⇒ 最初の数:3 増加する数:7 個数:\(n\)

$$3+7\times (n-1)=7n-4$$

考え方はとても簡単です!

等差数列では、同じ数だけ増えていくので

最初の数を基準として、そこから何回足されたか?を考えればよいのです。

 

4番目の数であれば、最初の数に増加する数が3回足されている。

10番目の数であれば、最初の数に増加する数が9回足されている。

\(n\)番目の数であれば、最初の数に増加する数が\((n-1)\)回足されている。

ということになります。

 

〇番目から1を引いた数だけ足されている。

っていうのがポイントですね。

 

では、次の等差数列において〇番目がどのような数になるか考えてみましょう。

【問題】

次の数列において、8番目の数が何になるか求めなさい。

$$3,9,15,\cdots$$

今回の数列は、6ずつ増加していることが読み取れます。

8番目の数は、最初の数に6が7回分足された数になるので

$$3+6\times 7=45$$

答え

$$45$$

 

【問題】

次の数列において、\(n\)番目の数が何になるか求めなさい。

$$2,5,8,\cdots$$

今回の数列は、3ずつ増加していることが読み取れます。

\(n\)番目の数は、最初の数に3が\((n-1)\)回分足された数になるので

$$2+3\times (n-1)=3n-1$$

答え

$$3n-1$$

等差数列の和を求める公式

等差数列の和

等差になっている数の和は次のように表せます。

$$\frac{個数}{2}\{(最初の数)+(最後の数)\}$$

【例】

\(2,4,6\cdots \) と増えていく数列の10番目までの数の和は?

まずは10番目の数を考える。

すると、\(2+2\times(10-1)=20\)

⇒ 最初の数:2 最後の数:20 個数:10

$$\begin{eqnarray}&&2+4+6+\cdots+20\\[5pt]&=&\frac{10}{2}(2+20)\\[5pt]&=&55\end{eqnarray}$$

 

\(1,3,5\cdots\) と増えていく数列の\(n\)番目までの数の和は?

まずは\(n\)番目の数を考える。

すると、\(1+2\times(n-1)=2n-1\)

⇒ 最初の数:1 最後の数:\(2n-1\) 個数:\(n\)

$$\begin{eqnarray}&&1+3+5+\cdots+(2n-1)\\[5pt]&=&\frac{n}{2}\{1+(2n-1)\}\\[5pt]&=&n^2\end{eqnarray}$$

上のことから分かるように

1番目から\(n\)番目までの奇数の和は\(n^2\)となる。

なぜこのような公式になるのかについては、

こちらの記事をご参考ください。

等差数列の和の公式について

(見本記事の為、省略)

高校生向けの記事ですが、簡単に理解できると思います(^^)

 

では、こちらの問題を考えてみましょう。

【問題】

\(1,4,7\cdots \) と増えていく数列の10番目までの数の和は?

まずは、10番目の数が何になるかを考えていきましょう。

すると、\(1+3\times(10-1)=28\) となるので

⇒ 最初の数:1 最後の数:28 個数:10

$$\begin{eqnarray}&&1+4+7+\cdots+28\\[5pt]&=&\frac{10}{2}(1+28)\\[5pt]&=&145\end{eqnarray}$$

答え

$$145$$

 

【問題】

\(2,4,6,\cdots \) と増えていく数列の\(n\)番目までの数の和は?

まずは、\(n\)番目の数が何になるかを考えていきましょう。

すると、\(2+2\times(n-1)=2n\) となるので

⇒ 最初の数:2 最後の数:\(2n\) 個数:\(n\)

$$\begin{eqnarray}&&2+4+6+\cdots+2n\\[5pt]&=&\frac{n}{2}(2+2n)\\[5pt]&=&n^2+n\end{eqnarray}$$

答え

$$n^2+n$$

 

 

【問題】

\(1,3,5,\cdots \) と増えていく数列の20番目までの数の和は?

まずは、\(20\)番目の数が何になるかを考えていきましょう。

すると、\(1+2\times(20-1)=39\) となるので

⇒ 最初の数:1 最後の数:39 個数:20

$$\begin{eqnarray}&&1+3+5+\cdots+39\\[5pt]&=&\frac{20}{2}(1+39)\\[5pt]&=&400\end{eqnarray}$$

 

または、1から\(n\)番目の奇数の和は、

\(n^2\)になるということを覚えておけば

20番目までの和は、\(20^2=400\)

と求めることもできます。

 

奇数の和を考える問題が出たら

2乗するだけで和が求まるのですごくラクですね!

まとめ

規則性の問題で、数の並びが等差数列になっている場合にはラッキー!

今回の公式を当てはめれば一発で答えが求まっちゃいます。

 

では、等差数列の公式を覚えて準備が整ったら

いよいよ規則性の問題に挑戦していきましょう!

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